其中θ为蛇身相对行进方向的倾斜角，L为蛇身长度，k为谐波数。为分析蛇的行进过程，建立随 O点平动的参考坐标系 (O-xy)。其中x轴指向行进路线的后方，与弹性波传播方向一致，y轴为沿行进方向右侧的水平轴。则蛇在 (O-xy)坐标系中的形状可用式(1)的积分表示:
(2)
为使数学表达更简明，也为表达蛇形曲线随时间的变化过程，将蛇的蜿蜒运动设想为沿 x 轴方向传播的行波。则可以另一种方式描述为
(3)
其中 μ = 2π/λ，λ 为沿 x轴传播的波长，ω = 2π/T，T为传递一个谐波的完成时间，也就是蛇身上同一点往复振动的周期。公式(2)和(3)都是对蛇形的近似描述，两种曲线形状相似而不完全相同，但公式(3)的数学处理要方便多了。
蛇利用侧向滑动获得向前推进力的过程与冰上运动有些相似。当运动员控制冰刀向两侧偏后方滑动时，冰面沿垂直刀刃方向的摩擦力会出现向前的分量推动运动员前进。因此要解释蛇的前进动力就必须考察蛇的侧向滑动有没有类似的现象。
设 v(x,t) 为蛇在任意点 P处的侧向滑动速度，沿蛇形曲线在 P 点的法线方向（图2）。对于不大的倾角θ，v(x,t) 沿 x 轴和 y轴的投影分别为
(4)
其中 vy(x,t) 可利用蛇形曲线 y(x,t) 对 t 求偏导得出
(5)
图2 侧向速度与摩擦力
θ 角近似等于 y(x,t) 的斜率，即对 x的偏导数：
（6）
将式 (5), (6) 代入式(4)计算vx(x,t)，导出
（7）
表明 P点的侧向速度的 x 轴分量指向行进路线的后方。由于侧向摩擦力 F与侧向速度 v 相逆，则蛇形曲线上各点的摩擦力均指向前进方向。
为给出更直观的解释，画出在 t=0时刻，x轴的半波长 λ/2 范围内的蛇形曲线 y(x,0)和速度曲线 v(x,0)（图3）。可看出按正弦规律和余弦规律变化的蛇形曲线与速度曲线之间存在 900 相位差。在曲线的两端位移为零，而蛇身相对x轴的倾斜角和速度均达到最大值。在蛇形曲线的中点位移为最大值，而蛇身倾斜角和速度均为零。滑动速度过中点后改变方向，在 x 的前半段区间 (0, λ/4) 内，v(x)与 y(x) 异号，滑动速度与弯曲方向相逆；在后半段区间( λ/4, λ/2)内，v(x)与 y(x)同号，滑动速度与弯曲方向一致。其结果是在x的两个区间内，与蛇身垂直的滑动速度均偏向蛇尾，与滑动方向相逆的摩擦力均指向蛇头（图4）。蛇身向左和向右交替向两侧滑动，如同冰上运动员左右脚交替蹬冰的动作，摩擦力就能持续提供向前的动力。于是蛇利用侧向蜿蜒运动产生前进动力的问题就从物理概念上得到解释。
图3蛇形曲线y(x) 和速度曲线 v(x)
图4 摩擦力沿蛇身的分布
由此可见，蛇无足而能行的特殊能力与位移和速度之间的 900 相位差有着密切联系。在人类的科技实践中，也不乏利用类似的运动参数之间的相位差达到设计要求的案例。
例如在博文“陀螺罗经：力学与工程的完美结合”中就叙述过这样的例子。为增加阻尼因素以缩短陀螺罗经到达稳态的时间，必须施加与方位角 α 成比例的阻尼力矩。但方位角 α 的信息无法预先获得，因为 α 的量测基准正是有待罗经建立的子午面。仪器能够测量的只有相对垂直轴的俯仰角 β。利用 α 与 β 的相位差为 900 的特点，若能施加与 β 成比例的力矩就能起到与 α成比例的相同阻尼作用。液体摆即具有此特殊功能（图5），它由两只盛有粘性液体形状相同的容器组成，容器间以细管相连通。当连通器的载体倾斜时，液体从高端容器流入低端容器，产生重力矩体现复摆效应。设液面相对容器轴 y 的倾角为θ，载体的y轴相对水平轴 Y的倾斜角为 β。对于强粘性液体，其流速 dθ/dt近似与基体倾斜角 β 成正比。由于 θ 与其导数 dθ/dt 之间有接近 900 的相位差，表明液面倾角 θ 与 β 之间也存在 900 的相位差。基于此原理，斯佩里陀螺罗经采用液体摆作为摆式罗经的基本构件获得成功就是一个著名案例。
图5 液体摆
附带提起。据报道，为救援在松软的火星沙层表面上陷入困境的火星车，欧洲航天局打算将挪威科技大学研制的名为 “Wheeko” 的 “机器蛇” 送上火星（图5）[4]。如能成功，也可算是蛇对空间技术的一大贡献吧。
图5 Wheeko机器蛇
参考文献
[1].Mosauer W. On the locomotion of snakes. Science, 1932, 76(1982): 583-585
[2].Ma S, Araya H, Li L. Development of a creeping snake-robot. Int. J. Robotics & Automation, 2002,17(4): 146- 153
[3].Hirose S, Yamada H. Snake-like robots. IEEE Robotics & Automation, 2009, March: 88-98
[4].Robot snake on Mars? Serpentine probe could explore red planet. The Christian Science Monitor, 2013.9.18 （参考消息，2013.9.20）
（改写自：刘延柱. 蛇年话蛇行. 力学与实践，2013，35(5): 95-96
刘延柱. 趣味刚体动力学（第2版），4.6节. 北京，高等教育出版社，2018.9）
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